Question

5．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DA=DC=4，DD₁=3．
（1）求BD₁与平面ABCD所成的角的余弦；
（2）求异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接BD₁，BD，由DD₁⊥平面ABCD，得到∠DBD₁即BD₁与平面ABCD所成的角，分别利用勾股定理求出BD与BD₁的长，即可求出BD₁与平面ABCD所成的角的余弦；
（2）连接A₁D，由A₁D∥B₁C，得到∠BA₁D为异面直线A₁B与B₁C所成的角，在△A₁DB中，利用余弦定理求出cosBA₁D的值即可．

解答 解：（1）连接BD₁，BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴∠DBD₁即BD₁与平面ABCD所成的角，
∵在Rt△ABD中，AD=AB=4，
∴根据勾股定理得：BD=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵在Rt△BDD₁中，DD₁=3，
∴根据勾股定理得：BD₁=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
则cos∠DBD₁=$\frac{D{D}_{1}}{BD}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{41}}$=$\frac{4\sqrt{82}}{41}$；
（2）连接A₁D，
∵A₁D∥B₁C，
∴∠BA₁D为异面直线A₁B与B₁C所成的角，
在△A₁DB中，A₁B=A₁D=5，BD=4$\sqrt{2}$，
则cos∠BA₁D=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}-B{D}^{2}}{2{A}_{1}B•{A}_{1}D}$=$\frac{25+25-32}{50}$=$\frac{9}{25}$．

点评 此题考查了直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，找出直线与平面所成的角、异面直线所成的角是解本题的关键．