Question

已知椭圆C₁的方程是

x2

4

+y2=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，C₂的左、右顶点分别为C₁的左、右焦点．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B，且

OA

•

OB

＞2（O为原点），求k的取值范围；
（3）设P₁，P₂分别是C₂的两条渐近线上的点，点M在C₂上，且

OM

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，求△P₁OP₂的面积．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C₁的方程是

x2

4

+y2=1，知a=2，b=1，c=

3

，由此能求出双曲线C₂的方程．
（2）由直线y=kx+

2

，双曲线

x2

3

-y2=1两个方程联立，得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．由直线y=kx+

2

与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B，得k²+1＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

9

3k2-1

，y1y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=

2-3k2

1-3k2

．由

OA

•

OB

＞2，能求出k的范围．
（3）C₂渐近线为|

3

| y=x，设P1(

3

p1，p1)， P2(-

3

p2 ，p2)，且p₂＞0，p₁＜0，P₁P₂的方程为

y-p1

x- 3 p1

=

p2-p1

- 3 p2- 3 p1

，令y=0，解得P₁P₂与x轴的交点为N（

2 3 p2p1

p2-p1

，0），由此能求出△P₁OP₂的面积．

解答：解：（1）∵椭圆C₁的方程是

x2

4

+y2=1，
∴a=2，b=1，c=

3

，
∴双曲线C₂的方程为

x2

3

-y2=1．
（2）直线y=kx+

2

，双曲线

x2

3

-y2=1两个方程联立，并化简，得：
（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0，
∵直线y=kx+

2

与双曲线C₂恒有两个不同的交点A和B
∴△=（-6

2

k）²-4×（1-3k²）×（-9）＞0
即k²＜1，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

9

3k2-1

，
∴y1y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=k²x₁x₂+

2

k（x₁+x₂）+2=

2-3k2

1-3k2

．
∵

OA

•

OB

＞2，
∴k＜-

3

3

或k＞

3

3

，而k²＜1
故k的范围为：-1＜k＜-

3

3

或

3

3

＜x＜1；
（3）C₂渐近线为|

3

| y=x，设P1(

3

p1，p1)， P2(-

3

p2 ，p2)，且p₂＞0，p₁＜0，
∴P₁P₂的方程为

y-p1

x- 3 p1

=

p2-p1

- 3 p2- 3 p1

，
令y=0，解得P₁P₂与x轴的交点为N（

2 3 p2p1

p2-p1

，0），
∴S△P1OP2=p2|

2 3 p2p1

p2-p1

|-(-p1) |

2 3 p2p1

p2-p1

|
=-2

3

p2p1．
∵

OM

=

1

2

(

OP1

+

OP1

)
=[

3

2

(p1-p2)，

1

2

(p1+p2)]
∴p₁p₂=1，
∴△P₁OP₂的面积S=2

3

．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．