Question

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）关于直线bx+cy=0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 设出P的坐标，利用对称知识，结合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．

解答 解：设P（m，n），由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+c}=\frac{c}{b}}\\{b•\frac{m-c}{2}+\frac{cn}{2}=0}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{c{b}^{2}-{c}^{3}}{{a}^{2}}$，n=-$\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}$，代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得e²（4e⁴-4e²+1）+4e²=1，
可得，4e⁶+e²-1=0．
即4e⁶-2e⁴+2e⁴-e²+2e²-1=0，
可得（2e²-1）（2e⁴+e²+1）=0
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．