Question

已知向量a=（1+cos（2x+φ），1），b=（1，a+

3

sin（2x+φ））（φ为常数且-

π

2

＜φ＜

π

2

），函数f（x）=a•b在R上的最大值为2．
（1）求实数a的值；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，可得函数y=2sin2x的图象，求函数y=f（x）的解析式及其单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简整理，利用正弦函数的值域表示出函数的最大值求得a．
（2）把（1）中函数的图象依题意平移后可得新的解析式，令φ=2kπ求得φ的值，然后利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．

解答：解：（1）f（x）=1+cos（2x+φ）+a+

3

sin（2x+φ）
=2sin（2x+φ+

π

6

）+a+1．
因为函数f（x）在R上的最大值为2，
所以3+a=2，即a=-1．
（2）由（1）知：f（x）=2sin（2x+φ+

π

6

）．
把函数f（x）=2sin（2x+φ+

π

6

）的图象向右平移

π

12

个单位可得函数
y=2sin（2x+φ）=2sin2x，
∴φ=2kπ，k∈Z．
又∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=0．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
因为2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

?kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
所以，y=f（x）的单调增区间为
[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

点评：本题主要考查了三角函数的最值．三角函数的单调性，值域等基本性质．要求学生对三角函数基础知识全面熟练的掌握．