Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对于任意的正整数n，S_n和a_n都满足S_n=2-a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设c_n=n（3-b_n），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知a₁=1，a_n+S_n=2，a_n+1+S_n+1=2，两式相减：a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n，

an+1

an

=

1

2

，n∈N+，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，3，…），知bn+1-bn=(

1

2

)n-1，再由累加法能推导出bn=3-2(

1

2

)n-1（n=1，2，3，…）．
（Ⅲ）由cn=n(3-bn) =2n(

1

2

)n-1，知Tn=2[(

1

2

)0++2(

1

2

)+3 (

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-2+n(

1

2

)n-1]，再由错位相减法能够推导出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，∴a₁=1，∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2，两式相减：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0，即a_n+1-a_n+a_n+1=0，
故有2a_n+1=a_n，∵a_n≠0，∴

an+1

an

=

1

2

，n∈N+，
所以，数列{a_n}为首项a₁=1，公比为

1

2

的等比数列，an=(

1

2

)n-1，n∈N⁺，
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_n（n=1，2，3，…），∴bn+1-bn=(

1

2

)n-1，
得b₂-b₁=1，b3-b2=

1

2

，b4-b3=(

1

2

)2，…，bn-bn-1=(

1

2

)n-2（n=2，3，…）
将这n-1个等式相加，
bn-b1=1+

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-2=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=2-2(

1

2

)n-1，
又∵b₁=1，∴bn=3-2(

1

2

)n-1（n=1，2，3，…）
（Ⅲ）∵cn=n(3-bn) =2n(

1

2

)n-1，
∴Tn=2[(

1

2

)0++2(

1

2

)+3 (

1

2

)2+…+(n-1)(

1

2

)n-2+n(

1

2

)n-1]①
而

1

2

Tn=2[(

1

2

) +2(

1

2

)2+3(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n-1+n(

1

2

)n ]②
①-②得：

1

2

Tn=2[(

1

2

)0+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]-2n(

1

2

)n，
Tn=4×

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-4n×(

1

2

)n=8-

8

2n

-4n(

1

2

)n=8-(8+4n)

1

2n

，(n=1，2，3，…)．

点评：第（Ⅰ）题考查迭代法求数列通项公式的方法，第（Ⅱ）题考查累加法求数列通项公式的方法，第（Ⅲ）题考查错位相减求数列前n项和的方法．解题时要认真审题，仔细解答．