Question

已知椭圆C：=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上总存在点P，使得点P在以F₁F₂为直径的圆上；
（1）求椭圆离心率的取值范围；
（2）若AB是椭圆C的任意一条不垂直x轴的弦，M为弦AB的中点，且满足K_AB•K_OM=-（其中K_AB、K_OM分别表示直线AB、OM的斜率，O为坐标原点），求满足题意的椭圆C的方程．

Answer 1

解：（1）设点P（x，y），∵F₁ （-，0），F₂ （，0），
设椭圆的上顶点为B（0，1），
∵点P在以F₁F₂为直径的圆上，∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，只需满足 •≤0，
（-，-1）•（，-1）=-（m-1）+1=2-m≤0，m≥2，
e=∈[，1）．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂ ），M （x₀，y₀），则x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀．
把A、B的坐标代入椭圆方程得 ，，
并相减得：=-（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴K_AB ==，又 K_OM=，
再由 K_AB•K_OM =-，m=4，此时，椭圆的方程为+y²=1．
分析：（1） 利用点P在以F₁F₂为直径的圆上，以及∠F₁PF₂≤∠F₁BF₂，故只需满足 •≤0，由两个向量的数量积公式
求出m的范围，即得椭圆离心率的取值范围．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂ ），M （x₀，y₀），把A、B的坐标代入椭圆方程并相减得直线AB的斜率，据K_AB•K_OM=-，求出 m值，即得椭圆的方程．
点评：本题考查椭圆的简单性质的应用以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，以及直线的斜率公式、
两个向量的数量积公式的应用．