Question

9．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁为矩形，AB=2，AA₁=4，D在棱AA₁上，且4AD=AA₁，BD与AB₁交于点O，且CO⊥平面A₁ABB₁．
（I）证明：BC⊥AB₁；
（II）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角．

Answer 1

分析 （I）证明：AB₁⊥面BCD，即可证明BC⊥AB₁；
（II）若OC=OA，以O为原点，以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线CD与平面ABC所成角．

解答 （I）证明：由题意，因为ABB₁A₁是矩形，
AB=2，AA₁=4，AD=1，
所以在直角三角形ABB₁中，tan∠AB₁B=$\frac{1}{2}$，
在直角三角形ABD中，tan∠ABD═$\frac{1}{2}$，
所以∠AB₁B=∠ABD，
又∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∠BAB₁+∠ABD=90°，
所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，
即BD⊥AB₁，…（3分）
又因为CO⊥侧面ABB₁A₁，AB₁?侧面ABB₁A₁，
所以CO⊥AB₁
所以，AB₁⊥面BCD，
因为BC?面BCD，
所以BC⊥AB₁．…（6分）
（Ⅱ）解：以O为原点，以OD，OB₁，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，$-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，0），B（$-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，0，0），C（0，0，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$），D（$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，0，0），
所以$\overrightarrow{AB}$（$-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，0），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，0，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则根据$\left\{\begin{array}{l}-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}x+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}y=0\\ \frac{{4\sqrt{5}}}{5}x+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}z=0\end{array}\right.$，令x=1，则y=2，z=-2，则$\overrightarrow n=（1，2，-2）$，…（9分）
又$\overrightarrow{CD}=（\frac{{\sqrt{5}}}{5}，0，-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}）$
设直线CD与平面ABC所成角为α，则$sinα=|cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{CD}＞|=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
所以直线CD与平面ABC所成角为$arcsin\frac{{\sqrt{5}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．