Question

某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击，若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m处击中目标的概率为

1

2

，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
（1）求这名射手在三次射击中命中目标的概率；
（2）求这名射手比赛中得分的均值．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，记出事件，射手在三次射击中命中目标包括射击一次命中目标，射击两次第二次命中目标，射击三次只有第三次命中目标，根据事件写出概率．
（2）要求射手比赛中得分的均值，先要求得分的分布列，由题意知射手甲得分为ξ，它的取值是0、1、2、3，看出变量取值不同时对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．

解答：解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C三次均未命中目标的事件为D．
依题意P(A)=

1

2

．
设在xm处击中目标的概率为P（x），则P(x)=

k

x2

，
由x=100m时P(A)=

1

2

，
∴

1

2

=

k

1002

，
∴k=5000，
P(x)=

5000

x

，P(B)=

5000

1502

=

2

9

，P(C)=

5000

2002

=

1

8

，
P(D)=P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

．
（Ⅰ）由于各次射击都是独立的，
∴该射手在三次射击击中目标的概率为P=P(A)+P(

.

A

B)+P(

.

A

.

B

C)，
P=P(A)+P(

.

A

)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(C)
=

1

2

+

1

2

×

2

9

+

1

2

×

7

9

×

1

8

=

95

144

．
（Ⅱ）依题意，设射手甲得分为ξ，
则P(ξ=3)=

1

2

，
P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，
P(ξ=1)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

P(ξ=0)=

49

144

，
∴ξ的分布列为

∴Eξ=3×

1

2

+2×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

85

48

．

点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．