Question

函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|．
（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀），设关于原点的对称点为P（x，y），再由中点坐标公式，求得Q的坐标代入f（x）=x²+2x即可．
（Ⅱ）将f（x）与g（x）的解析式代入转化为2x²-|x-1|≤0，再通过分类讨论去掉绝对值，转化为一元二次不等式求解．
（Ⅲ）将f（x）与g（x）的解析式代入可得h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1，再用二次函数法研究其单调性．

解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），
则

x0+x 2 =0 y0+y 2 =0

即

x0=-x y0=-y.

∵点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，故g（x）=-x²+2x
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0
当x≥1时，2x²-x+1≤0，此时不等式无解．
当x＜1时，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤

1

2

．
因此，原不等式的解集为[-1，

1

2

]．
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1
①当λ=-1时，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1
②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=

1-λ

1+λ

．
ⅰ）当λ＜-1时，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1．
ⅱ）当λ＞-1时，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0．综上，λ≤0．

点评：本题主要考查求对称区间上的解析式，解不等式及研究函数的单调性，属中档题．