Question

设数满足：.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）先令求出的值，然后令，由得到
，将两式相减得到，利用定义法证明数列是
等比数列；（2）在（1）的基础上求出数列的通项公式，进而确定数列的通项公式，将不等式
转化为，利用作差法研究数列的单调性，确定数列的最大项的值，
从而解出相应的不等式即可.
（1）当时，则有，解得，
当且时，，
，
上式下式，得，所以，
故，且
因此数列是首项为，公比为的等比数列，
因此；
（2），对任意的正整数恒成立，则，
，
当且时，，即，因此，
当时，则，则有，
当且时，，即，则数列从第四项开始单调递减，
因此，或最大，，
所以，即，解得或，
因此实数的取值范围是.