Question

在平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，-c），F₂（0，c），A（

3

c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可用待定系数法，设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，将已知三点坐标代入解方程组即可，最后再转化为标准方程；（2）分别求出A、C、B、D的坐标，由已知A点在B点右侧，C点在D点右侧，得关于a、b、c的不等式，即可解得椭圆离心率的取值范围

解答：解：（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由题设得

c2-Ec+F=0 c2+Ec+F=0 3c2+ 3 Dc+F=0

解得

D=- 2 3 3 c E=0 F=-c2

∴⊙M的方程为x²+y²-

2 3

3

cx-c²=0，
其标准方程为（x-

3

3

c）²+y²=

4

3

c²
（2）⊙M与x轴的两个交点为A（

3

c，0），C（-

3

3

c，0），又B（b，0），D（-b，0），
由题设

3 c＞b - 3 3 c＞-b

即

3 c＞b 3 3 c＜b

所以

1

3

c²＜b²＜3c²，

1

3

c²＜a²-c²＜3c²，
解得

1

2

＜

c

a

＜

3

2

，即

1

2

＜e＜

3

2

．
∴椭圆离心率的取值范围为（

1

2

，

3

2

）．

点评：本题主要考查了圆的标准方程及其求法，椭圆的几何性质，椭圆离心率的求法，待定系数法的使用和关于a、b、c的不等式的建立是解决本题的关键