Question

3．已知点F为抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，如图．当直线l与x轴垂直时，|MN|=4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点P（-1，0），设直线PM的斜率为k₁，直线PN的斜率为k₂．请判断k₁+k₂是否为定值，若是，写出这个定值，并证明你的结论；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出M的坐标，代入抛物线方程，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用韦达定理，结合斜率公式，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，
∴$F（\frac{p}{2}，0）$．…（1分）
又∵l与x轴垂直，且|MN|=4，
∴$M（\frac{p}{2}，2）$．…（2分）
又∵点M在抛物线上，
∴$4=2p×\frac{p}{2}={p^2}$，
∴p=2，
∴求抛物线C的方程为y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）结论：k₁+k₂=0，为定值．
设直线l与抛物线交于不同两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①当直线l斜率不存在时，知直线PM与PN关于x轴对称，
∴k₁+k₂=0．
②当直线l斜率存在时，直线l的方程设为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，x₁x₂=1．
又∵${k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}$，${k_2}=\frac{y_2}{{{x_2}+1}}$，
且y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴${k_1}+{k_2}=\frac{y_1}{{{x_1}+1}}+\frac{y_2}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{{y_1}（{x_2}+1）+{y_2}（{x_1}+1）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$=$\frac{{k（{x_1}-1）（{x_2}+1）+k（{x_2}-1）（{x_1}+1）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$=$\frac{{2k（{x_1}{x_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）+1}}$．
∵x₁x₂=1，
∴k₁+k₂=0．
综上所述k₁+k₂=0．      …（14分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．