Question

（2009•淮安模拟）若关于x的不等式x²+9+|x²-3x|≥kx在[1，5]上恒成立，则实数k的范围为

（-∞，6]

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²+9+|x²-3x|，x∈[1，5]，由已知，k只需小于或等于g（x）=

f(x)

x

的最小值即可．写出分段函数g（x）的函数解析式，求出其最小值即可解决．

解答：解：令f（x）=x²+9+|x²-3x|，x∈[1，5]，则f（x）=

f1 (x)=3x+9，      x∈[1，3] f2(x)=2x2-3x+9 ，  x∈(3，5]

，由已知，k只需小于或等于g（x）=

f(x)

x

的最小值即可．
当x∈[1，3]时，g（x）=

f(x)

x

=3+

9

x

≥6，
当x∈（3，5]时，g（x）=

f(x)

x

=2x+

9

x

-3，g′（x）=（

f(x)

x

）′=2-

9

x2

＞0，是增函数，g（x）＞g（3）=6，
所以g（x）的最小值为6，所以k≤6．
故答案为：（-∞，6]

点评：本题考查不等式恒成立问题，考查分段函数的性质、参数分离的方法．