Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：将函数f（x）的解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后提取-2，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，
（1）根据正弦函数的单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z）列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数f（x）的单调递增区间；
（2）由f（x）的解析式，将x=A代入表示出f（A），由正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简后，根据sinA不为0得到cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而得到A+C的度数，得出A的取值范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，进而确定出f（A）的取值范围．

解答：解：f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x-1
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x-1
=-sin2x-

3

cos2x
=-2sin（2x+

π

3

），
（1）∵正弦函数的单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），
∴2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），
解得：kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

（k∈Z），
则函数f（x）的递增区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]（k∈Z）；
（2）f（A）=-2sin（2A+

π

3

），
将（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
又B为三角形的内角，∴B=

π

3

，
∴A+C=

2π

3

，即0＜A＜

2π

3

，
∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1＜sin（2A+

π

3

）＜1，
则f（A）的取值范围是（-2，2）．

点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．