Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．已知|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|成等差数列，且

BF

与

FA

同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，可求出双曲线方程．

解答：解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，c2=a2+b2由

BF

，

FA

同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，

π

4

），
∴渐近线斜率为：k1=

b

a

＜1∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=e2-1＜1，∴1＜e2＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2(|OB|-|OA|)∴

|OB|-|OA|= 1 2 |AB |OA|+|OB|=2|AB

∴|OA|=

3

4

|AB|∴|OA|2=

9

16

|AB|2
可得：

|AB|

|OA|

=

4

3

，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

4

3

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan

1

2

∠AOB
∴

2k

1-k2

=

4

3

，∴2k2+3k-2=0，∴k=

1

2

(k=-2舍去)；
∴

b

a

=

1

2

∴

b2

a2

=

c2-a2

a2

=

1

4

，∴e2=

5

4

∴e=

5

2

（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为

x2

4b2

-

y2

b2

=1，c=

5

b，
∴AB的直线方程为 y=-2（x-

5

b），代入双曲线方程得：15x²-32

5

bx+84b²=0，
∴x₁+x₂=

32 5 b

15

，x₁•x₂=

84b2

15

，
4=

(1+4)[(  32 5 b 15 )2 - 4 • 84b2 15

，16=

32b2

9

-

4×84b2

3

，
∴b²=9，所求双曲线方程为：

x2

36

-

y2

9

=1．

点评：做到边做边看，从而发现题中的巧妙，如据

|AB|

|OA|

=

4

3

，联想到对应的是2渐近线的夹角的正切值．