Question

18．已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$上的两点．
（1）求椭圆G的离心率；
（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直径的圆经过点A，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）将A和B点的坐标代入椭圆G的方程，列出方程组求出a和b的值，再求出c和离心率；
（2）由（1）求出椭圆G的方程，对直线l的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，与椭圆G的方程联立后，利用韦达定理写出式子，将条件转化为$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，由向量数量积的坐标运算列出式子，代入化简后求出k的值，即得直线l的方程．

解答 解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
∴椭圆G的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）由（1）得，椭圆G的方程是$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，
代入椭圆G的方程得，C（3，-1），不符合题意；
②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x₁，y₁），
则直线BC的方程为y=k（x-3）+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-3）+1}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$得，（3k²+1）x²-6k（3k-1）x+27k²-18k-3=0，
∴3+x₁=$\frac{6k（3k-1）}{3{k}^{2}+1}$，3x₁=$\frac{3（9{k}^{2}-6k-1）}{3{k}^{2}+1}$，则x₁=$\frac{9{k}^{2}-6k-1}{3{k}^{2}+1}$，
∵以BC为直径圆经过点A，
∴AB⊥AC，则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，即（3，-1）•（x₁，y₁-2）=0，
∴3x₁-y₁+2=0，即3x₁-[k（x₁-3）+1]=0，
∴（3-k）x₁+3k+1=0，（3-k）•$\frac{9{k}^{2}-6k-1}{3{k}^{2}+1}$+3k+1=0，
化简得，18k²-7k-1=0，
解得k=$-\frac{1}{2}$ 或k=$\frac{1}{9}$，
∴直线BC的方程为y=$-\frac{1}{2}$（x-3）+1或y=$\frac{1}{9}$（x-3）+1，
即直线BC的方程是x+2y-5=0或x-9y+6=0，
综上得，直线l的方程是x+2y-5=0或x-9y+6=0．

点评 本题考查了待定系数法求椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，向量数量积的坐标运算，以及“设而不求”的解题思想方法，考查转化思想，化简、变形、计算能力．