Question

已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心，椭圆的一个焦点为（1，0），点(

3

2

，

6

2

)在椭圆上，直线l过椭圆的右焦点与椭圆交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若线段MN的垂直平分线过点(0，

1

5

)，求出直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件知c=1，由点(

3

2

，

6

2

)在椭圆上，知b²=2，a²=3，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当k不存在时，MN的垂直平分线为x轴，不过点(0，

1

5

)，不合题意．设直线y=k(x-1)∴

y=k(x-1) x2 3 + y2 2 =1

，（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，然后由韦达定理进行求解．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1∴c=1∴a2=b2+1∵点(

3

2

，

6

2

)在椭圆上，
∴

3 4

a2

+

6 4

b2

=1…3分∴4b4-5b2-6=0∴b2=2，a2=3∴

x2

3

+

y2

2

=1…6分
（Ⅱ）当k不存在时，MN的垂直平分线为x轴，不过点(0，

1

5

)，不合题意．…（7分）
设直线y=k(x-1)∴

y=k(x-1) x2 3 + y2 2 =1

∴（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0…（8分）∴x1+x2=

6k2

2+3k2

，y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=-

4k

2+3k2

∴MN的中点为(

3k2

2+3k2

，-

2k

2+3k2

)…10分∴

-2k 2+3k2 - 1 5

3k2 2+3k2

=-

1

k

∴3k2-5k+2=0∴k=

2

3

或k=1∴y=

2

3

(x-1)或y=x-1…13分

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．