Question

设函数f(x)=2cos2x+2

3

sinx•cosx-1(x∈R)
（I）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（II）作函数f（x）在[0，π]内的图象．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f(x)=2cos2x+2

3

sinx•cosx-1(x∈R)，根据两倍角公式，及辅助角公式，我们易将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据ω，φ值，可计算出函数f（x）的最小正周期对称中心；
（II）分别令x的值取0，

π

6

，

5π

12

，

2π

3

，

11π

12

，π，代入（1）中所求的函数的解析式，求出对应的函数值，用描点法易画出的图象．

解答：解：（I）f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1

=cos2x+ 3 sin2x =2sin(2x+ π 6 )(4分)

∴函数f（x）的最小正周期T=π，令2x+

π

6

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

12

，
所以图象的对此中心为(

kπ

2

-

π

12

，0)(k∈Z)（6分）
（II）列表如下：

x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
y	1	2	0	-2	0	1

函数f（x）在[0，π]内的图象如下图所示（12分）．

点评：本题考查的知识点是五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的对称性，其中利用两倍角公式，及辅助角公式，求出函数的解析式是解答本题的关键．