Question

已知函数f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最大值，并取得最大值时对应的x的值；
（2）若f（θ）=

4

3

，求cos（4θ+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数

专题：常规题型,三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用两角和的正弦公式化成标准形式，然后根据正弦函数的最值求解函数的最大值；（2）根据f（θ）=

4

3

，得sin（2θ+

π

6

）的值，然后利用倍角公式求cos（4θ+

π

3

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+2

3

sinxcosx
=2sin（2x+

π

6

）
所以f（x）的最大值为2．
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时取最大值．
（2）由已知2sin（2θ+

π

6

）=

4

3

得：sin（2θ+

π

6

）=

2

3

．
∴cos（4θ+

π

3

）=cos2（2θ+

π

6

）
=1-2sin²（2θ+

π

6

）=

1

9

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质及三角函数的求值问题，研究三角函数的性质关键是化成标准形式；三角函数求值问题关键是选择适当的公式，根据角的关系建立已知表达式和求解的表达式之间的关系．