Question

已知函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点(

π

6

，0)，(

π

3

，1)．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）当x∈R时，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]，是否存在实数m使函数g(x)=

3

f(x)+m2的最大值为4？若存在，求出实数m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点(

π

6

，0)，(

π

3

，1)．代入构造a，b的方程，得到实数a，b的值；
（Ⅱ）由（I）中结论结合和差角公式，将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，根据正弦型函数的单调性可求出f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）由x∈[0，

π

2

]可得x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]进面可求出g(x)=2

3

sin(x-

π

6

)+m2的最大值的表达式，进而求出满足条件的m的值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=asinx+bcosx的图象经过点(

π

6

，0)，(

π

3

，1)
∴

1 2 a+ 3 2 b=0 3 2 a+ 1 2 b=1

，（4分）         
解得：a=

3

，b=-1  （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

）（7分）
由2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
所以f（x）递减区间为[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，(k∈Z)（9分）
（Ⅲ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，（10分）
g(x)=2

3

sin(x-

π

6

)+m2
∴当x-

π

6

=

π

3

，即x=

π

2

时，
-

1

2

≤sin(x-

π

6

)≤

3

2

，（12分）
g（x）_max=3+m²，
∴3+m²=4，
∴m=±1所以存在实数m=±1使g（x）的最大值为4（14分）

点评：本题考查的知识点是正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，其中求出函数的解析式是解答本题的关键．