Question

如图，抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且.

（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切，
圆：．已知点，过点作互相垂
直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截
得的弦长为，被圆截得的弦长为．是否为定值？
请说明理由．

Answer 1

,

解：（Ⅰ）∵抛物线的焦点为，   ………………………………… 1分
∴双曲线的焦点为、，          …………………………………2分
设在抛物线上，且，
由抛物线的定义得，，∴，      ………………………………………3分
∴，∴，           ……………………………………………… 4分
∴，      ……………………………………………… 5分
又∵点在双曲线上，
由双曲线定义得，，∴，  ………………………………………… 6分
∴双曲线的方程为：．         …………………………………………… 7分
（Ⅱ）为定值.下面给出说明.            …………………………………………… 8分
设圆的方程为：，双曲线的渐近线方程为：，
∵圆与渐近线相切，∴圆的半径为，………9分
故圆：，                           ………………………… 10分
设的方程为，即，
设的方程为，即，
∴点到直线的距离为，点到直线的距离为，……………… 11分
∴直线被圆截得的弦长，………………12分
直线被圆截得的弦长，…………………13分
∴，故为定值． …………………… 14分