Question

12、已知命题p：“?x∈[0，1]，lna≥x”，命题q：“?x∈R，x²+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是

[e，4]

．

Answer 1

分析：首先要解出命题p是真命题的条件a≥e；和命题q是真命题的条件a≤4．然后根据已知命题“p∧q”是真命题，则命题p和q全是真命题．所以实数a的取值范围为“a≥e”和“a≤4”的交集，即可得到答案．

解答：解：命题p：?x∈[0，1]，lna≥x，
∴lna≥1，解得a≥e；
命题q：?x∈R，x²+4x+a=0，即关于x的方程x²+4x+a=0有实根，
等价于△=16-4a≥0，所以a≤4．
∵命题“p∧q”是真命题，
∴命题p真，命题q真，因此实数a的取值范围是[e，4]；
故答案为[e，4]．

点评：此题主要考查命题的真假性问题，其中涉及到一元二次方程根的分布和判别式的应用，计算量小属于基础题目．