Question

已知函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，当x∈[-2，0）时，f(x)=tx-

1

2

x3（t为常数）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当t∈[2，6]时，求f（x）在[-2，0]上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当t≥9时，证明：函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．

Answer 1

分析：（1）设x∈（0，2]?-x∈[-2，0）?f(-x)=-tx+

1

2

x3，由f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x），代入可求f（x）x∈（0，2]；
由奇函数的性质可知f（0）=0，从而可得f（x） x∈[-2，2]
（2）由知f(x)=x(t-

1

2

x2)＜0，x∈[-2，0]，t∈[2，6]
利用平均值不等式可得，f2(x)=x2(t-

x2

2

)(t-

x2

2

)≤

(x2+t- x2 2 +t- x2 2 )3

3

=

8t3

27

（当x 2= 

2t

3

时取等号）
（3）利用单调性的定义（或导数法）判断函数在[-2，2]上单调性，从而确定函数的值域，然后证明14在值域内即可

解答：解：（1）x∈（0，2]时，-x∈[-2，0），则f(-x)=t(-x)-

1

2

(-x)3=-tx+

1

2

x3，
∵函数f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数，即f（-x）=-f（x），
∴-f(x)=-tx+

1

2

x3，即f(x)=tx-

1

2

x3，又可知f（0）=0，
∴函数f（x）的解析式为f(x)=tx-

1

2

x3，x∈[-2，2]；
（2）f(x)=x(t-

1

2

x2)，∵t∈[2，6]，x∈[-2，0]，∴t-

1

2

x2≥0，f（x）＜0
∵[f(x)]2=x2(t-

1

2

x2)2≤(

x2+t- 1 2 x2+t- 1 2 x2

3

)3=

8t3

27

，∴x2=t-

1

2

x2，
即x2=

2t

3

，x=-

6t

3

(-

6t

3

∈[-2，0])时，fmin=-

2 6

9

t

t

．
猜想f（x）在[0，2]上的单调递增区间为[0，

6t

3

]．
（3）t≥9时，任取-2≤x₁＜x₂≤2，
∵f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[t-

1

2

(x12+x1x2+x22)]＜0，
∴f（x）在[-2，2]上单调递增，即f（x）∈[f（-2），f（2）]，
即f（x）∈[4-2t，2t-4]，t≥9，∴4-2t≤-14，2t-4≥14，
∴14∈[4-2t，2t-4]，∴当t≥9时，函数y=f（x）的图象上至少有一个点落在直线y=14上．

点评：本题综合考查函数的解析式的求解、利用均值不等式求函数的最值、及利用定义或导数法判断函数的单调性，在利用均值不等式求最值时，要注意验证各项的符号及等号成立的条件．