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已知函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2,0)时,f(x)=tx-
12
x3
(t为常数).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值,及取得最小值时的x,并猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间(不必证明);
(3)当t≥9时,证明:函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上.
分析:(1)设x∈(0,2]?-x∈[-2,0)?f(-x)=-tx+
1
2
x3
,由f(x)为奇函数可得f(-x)=-f(x),代入可求f(x)x∈(0,2];
由奇函数的性质可知f(0)=0,从而可得f(x) x∈[-2,2]
(2)由知f(x)=x(t-
1
2
x2)
<0,x∈[-2,0],t∈[2,6]
利用平均值不等式可得,f2(x)=x2(t-
x2
2
)(t-
x2
2
)
(x2+t-
x2
2
+t-
x2
2
)
3
3
=
8t3
27
(当x 2
2t
3
时取等号)
(3)利用单调性的定义(或导数法)判断函数在[-2,2]上单调性,从而确定函数的值域,然后证明14在值域内即可
解答:解:(1)x∈(0,2]时,-x∈[-2,0),则f(-x)=t(-x)-
1
2
(-x)3=-tx+
1
2
x3

∵函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,即f(-x)=-f(x),
-f(x)=-tx+
1
2
x3
,即f(x)=tx-
1
2
x3
,又可知f(0)=0,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=tx-
1
2
x3
,x∈[-2,2];
(2)f(x)=x(t-
1
2
x2)
,∵t∈[2,6],x∈[-2,0],∴t-
1
2
x2≥0
,f(x)<0
[f(x)]2=x2(t-
1
2
x2)2≤(
x2+t-
1
2
x2+t-
1
2
x2
3
)3=
8t3
27
,∴x2=t-
1
2
x2

x2=
2t
3
,x=-
6t
3
(-
6t
3
∈[-2,0])
时,fmin=-
2
6
9
t
t

猜想f(x)在[0,2]上的单调递增区间为[0,
6t
3
]

(3)t≥9时,任取-2≤x1<x2≤2,
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)[t-
1
2
(x12+x1x2+x22)]<0

∴f(x)在[-2,2]上单调递增,即f(x)∈[f(-2),f(2)],
即f(x)∈[4-2t,2t-4],t≥9,∴4-2t≤-14,2t-4≥14,
∴14∈[4-2t,2t-4],∴当t≥9时,函数y=f(x)的图象上至少有一个点落在直线y=14上.
点评:本题综合考查函数的解析式的求解、利用均值不等式求函数的最值、及利用定义或导数法判断函数的单调性,在利用均值不等式求最值时,要注意验证各项的符号及等号成立的条件.
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2x+2-x
2
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2

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a
x
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2
2
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3
x
1-x
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1
2
的点P满足2
OP
=
OM
+
ON
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(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn为数列{an}的前n项和,若Tn<m(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求m的取值范围.

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3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)图象上的两点,且x1+x2=1.
(1)求证:y1+y2为定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn
(3)在(2)的条件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn为数列{an}的前n项和.求Tn

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π
6
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π
3
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