如图在四棱锥中,底面
是边长为
的正方形,侧面
底面
,且
.
(1)求证:面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
(1)证明过程详见解析;(2).
解析试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,法一,先利用面面垂直的性质判断出,从而
平面
,所以
垂直于面内的任意的线
,由
,判断
是等腰直角三角形,所以
且
,所以
面
,利用面面垂直的判定定理得面面垂直,法二,利用空间向量法,通过
证明
,其它过程与法一相同;第二问,由第一问得到平面
的法向量为
,而平面
的法向量需要计算求出,
,所以
,最后用夹角公式求夹角余弦值.
试题解析:(1)解法一:因为面面
平面
面
为正方形,
,
平面
所以平面
∴
2分
又,所以
是等腰直角三角形,
且,即
,
,且
、
面
,
面
又面
,∴面
面
. 6分
解法二:
如图,
取的中点
, 连结
,
.
∵, ∴
.
∵侧面底面
,
平面平面
,
∴平面
,
而分别为
的中点,∴
,
又
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一点.
(1)求证:AC⊥DE;
(2)已知二面角APBD的余弦值为,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值.
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如图,是边长为
的正方形,
平面
,
,
,
与平面
所成角为
.
(1)求证:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)设点是线段
上一个动点,试确定点
的位置,使得
平面
,并证明你的结论.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,四边形为直角梯形,
,
,
为等边三角形,且平面
平面
,
,
为
中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值;
(3)在内是否存在一点
,使
平面
,如果存在,求
的长;如果不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的
倍,P为侧棱SD上的点.
(1)求证:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PAC
D的大小;
(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在多面体ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是边长为2的等边三角形,AE=1,CD与平面ABDE所成角的正弦值为.
(Ⅰ)若F是线段CD的中点,证明:EF⊥面DBC;
(Ⅱ)求二面角D-EC-B的平面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知是边长为2的等边三角形,
平面
,
,
是
上一动点.
(1)若是
的中点,求直线
与平面
所成的角的正弦值;
(2)在运动过程中,是否有可能使
平面
?请说明理
由.
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