Question

20．若关于x的不等式$\frac{bx}{ax+1}$+$\frac{dx+c}{cx+d}$＜0的解集为（-2，-1）∪（$\frac{1}{3}$，1），则关于x的不等式$\frac{b}{x+a}$+$\frac{cx+d}{dx+c}$＜0的解集为$（-1，-\frac{1}{2}）∪（1，3）$．

Answer 1

分析 把要求解的不等式变形，分子分母同时除以x后把$\frac{1}{x}$看作一个整体，由已知不等式的解集得到$\frac{1}{x}$的范围，进一步求出x的取值范围得答案．

解答 解：若x=0不符合题意，则x≠0，
由$\frac{b}{x+a}+\frac{cx+d}{dx+c}＜0$$\frac{bx}{ax+1}+\frac{dx+c}{cx+d}＜0$得，$\frac{b•\frac{1}{x}}{1+a•\frac{1}{x}}+\frac{c+d•\frac{1}{x}}{d+c•\frac{1}{x}}＜0$，
即$\frac{b•\frac{1}{x}}{a•\frac{1}{x}+1}+\frac{d•\frac{1}{x}+c}{c•\frac{1}{x}+d}＜0$，
设t=$\frac{1}{x}$，则不等式变为$\frac{bt}{at+1}+\frac{dt+c}{ct+d}＜0$，
因为不等式$\frac{bx}{ax+1}$+$\frac{dx+c}{cx+d}$＜0的解集为（-2，-1）∪（$\frac{1}{3}$，1），
所以-2＜$\frac{1}{x}$＜-1或$\frac{1}{3}＜$$\frac{1}{x}$＜1，
解得-1＜x＜$-\frac{1}{2}$或1＜x＜3，
所以所求的不等式解集是$（-1，-\frac{1}{2}）∪（1，3）$，
故答案为：$（-1，-\frac{1}{2}）∪（1，3）$．

点评 本题考查不等式的解法，考查转化思想、整体思想，以及换元法的应用，是中档题．