Question

（2012•威海二模）已知函数f(x)=sinωx•cosωx+

3

cos2ωx-

3

2

（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是y=f（x）图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为

π

4

．
（I）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

π

8

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换把函数f（x）的解析式化为sin(2ωx+

π

3

)，根据周期求出ω=2，从而得到f(x)=sin(4x+

π

3

)．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个

π

8

个单位后，得到 y=sin[4(x-

π

8

)+

π

3

]=sin(4x-

π

6

)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin(2x-

π

6

)的图象，可得
g(x)=sin(2x-

π

6

)，函数y=g（x）与y=-k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可得实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=

1

2

sin2ωx+

3

1+cos2ωx

2

-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin(2ωx+

π

3

)，-------（3分）
由题意知，最小正周期T=2×

π

4

=

π

2

，又T=

2π

2ω

=

π

ω

=

π

2

，所以ω=2，
∴f(x)=sin(4x+

π

3

)．-------------（6分）
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个

π

8

个单位后，得到 y=sin[4(x-

π

8

)+

π

3

]=sin(4x-

π

6

)的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin(2x-

π

6

)的图象，所以g(x)=sin(2x-

π

6

)．---------（9分）
令2x-

π

6

=t，∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

6

≤t≤

5

6

π，g（x）+k=0，在区间[0，

π

2

]上有且只有一个实数解，
即函数y=g（x）与y=-k在区间[0，

π

2

]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知-

1

2

≤-k＜

1

2

或-k=1
∴-

1

2

＜k≤

1

2

，或k=-1．--------（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．