Question

10．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知l是过定点P（2，2）且倾斜角为α的直线，曲线C的极坐标方程为ρ²（1+8sin²θ）=9．
（1）写出直线l的参数方程，并将曲线C化为直角坐标方程；
（2）若曲线C的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到曲线C′，曲线C′与直线l交于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据l是过定点P（2，2）且倾斜角为α的直线，可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$．曲线C的极坐标方程为ρ²（1+8sin²θ）=9，化为ρ²+8ρ²sin²θ=9，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）曲线C的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，则$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{1}{3}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入椭圆方程可得曲线C′：（x′）²+（y′）²=9．
曲线C′与直线l交于A，B两点，把直线l的参数方程代入上述方程可得：t²+4t（cosα+sinα）-1=0．利用|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$及其三角函数的值域即可得出．

解答 解：（1）∵l是过定点P（2，2）且倾斜角为α的直线，∴直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$．
曲线C的极坐标方程为ρ²（1+8sin²θ）=9，化为ρ²+8ρ²sin²θ=9，∴直角坐标方程为：x²+y²+8y²=9，即$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
（2）曲线C的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，则$\left\{\begin{array}{l}{x={x}^{′}}\\{y=\frac{1}{3}{y}^{′}}\end{array}\right.$，代入椭圆方程可得曲线C′：（x′）²+（y′）²=9．
曲线C′与直线l交于A，B两点，把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=2+tsinα}\end{array}\right.$代入上述方程可得：t²+4t（cosα+sinα）-1=0．∴t₁+t₂=-4（cosα+sinα），t₁t₂=-1．
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{16（cosα+sinα）^{2}+4}$=$2\sqrt{5+4sin2α}$，
∵sin2α∈[-1，1]．
∴|PA|+|PB|∈[2，6]．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用、坐标变换、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．