如图.已知点A.动点P满足|PA|=2|PO|.其中O为坐标原点.动点P的轨迹为曲线C.过原点O作两条直线分别l1:y=k1x.l2:y=k2x交曲线C 于点E(x1.y1).F(x2.y2).G(x3.y3).H(x4.y4)(其中y2＞0.y4＞0). (1)求证:,中的E.F.G.H.设EH交x轴于点Q.GF交x轴于点R.求证:|OQ|=|OR|.(证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点，动点P的轨迹为曲线C，过原点O作两条直线分别l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x交曲线C 于点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，
y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）。

（1）求证：

；
（2）对于（1）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R。求证：|OQ|=|OR|。（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）

（1）证明：设点P（x，y），
依题意，可得，
整理，得，
故动点P的轨迹方程为，
将直线EF的方程，代入圆C方程，
整理得，
根据根与系数的关系，得，，，……①
将直线GH的方程，代入圆C方程，
同理可得，，，……②
由①、②可得，所以结论成立。
（2）证明：设点，点，
由E、Q、H三点共线，得，解得，
由F、R、G三点共线，同理可得，
由，

，
即，
。

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图，已知点A（0，-3），动点P满足|PA|=2|PO|，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程．
（Ⅱ）记（Ⅰ）中所得的曲线为C．过原点O作两条直线l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x分别交曲线C于点E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）、G（x₃，y₃）、H（x₄，y₄）（其中y₂＞0，y₄＞0）．求证：

k1x1x2

x1+x2

k2x3x4

x3+x4

；
（III）对于（Ⅱ）中的E、F、G、H，设EH交x轴于点Q，GF交x轴于点R．求证：|OQ|=|OR|．（证明过程不考虑EH或GF垂直于x轴的情形）

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