Question

已知向量

a

=(

1

sinx

，

-1

sinx

)，

b

=(2，cos2x)．
（1）若x∈(0，

π

2

]，试判断

a

与

b

能否平行？
（2）若x∈(0，

π

3

]，求函数f(x)=

a

•

b

的最小值．

Answer 1

分析：（1）若

a

与

b

平行，则有

1

sinx

•cos2x=

-1

sinx

•2，解得cos2x=-2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故

a

与

b

不能平行．
（2）化简函数的解析式为2sinx +

1

sinx

，根据x∈(0，

π

3

]，得sinx∈(0，

3

2

]，利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：（1）若

a

与

b

平行，则有

1

sinx

•cos2x=

-1

sinx

•2，
因为x∈(0，

π

2

]，sinx≠0，所以得cos2x=-2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故

a

与

b

不能平行．
（2）由于f(x)=

a

•

b

=

2

sinx

+

-cos2x

sinx

=

2-cos2x

sinx

=

1+2sin2x

sinx

=2sinx+

1

sinx

，
又因为x∈(0，

π

3

]，所以sinx∈(0，

3

2

]，
于是2sinx+

1

sinx

≥2

2sinx• 1 sinx

=2

2

，
当2sinx=

1

sinx

，即sinx=

2

2

时取等号．
故函数f（x）的最小值等于2

2

．

点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，在利用基本不等式时，要注意检验等号成立的条件，这是解题的易错点．