Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn=2an﹣n．
（Ⅰ）证明数列{an+1}是等比数列，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn= + ，求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：令n=1，得a1=2a1﹣1，由此得a1=1． 由于Sn=2an﹣n，则Sn+1=2an+1﹣（n+1），
两式相减得Sn+1﹣Sn=2an+1﹣（n+1）﹣2an+n，
即an+1=2an+1．
∴an+1+1=2an+1+1=2（an+1），即 =2，
故数列{an+1}是等比数列，其首项为a1+1=2，
故数列{an+1}的通项公式是an+1=22n﹣1=2n ，
故数列{an}的通项公式是an=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn= + = = ，
= = ﹣ ，
所以Tn=b1+b2+…+bn=（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ，），
= ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ，
=1﹣ ，
数列{bn}的前n项和Tn=1﹣ ．
【解析】（Ⅰ）利用数列递推式，结合等比数列的定义，即可到结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）bn= + = = ﹣ ，利用“裂项法”即可求得数列{bn}的前n项和Tn ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．