Question

【题目】已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点． （Ⅰ）求直线PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；
（Ⅲ）设 ， ，求证λ+μ为定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0）， 于是直线PF的斜率为 ，
所以直线PF的方程为 ，即为mx+2y﹣m=0．
（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），
由 得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，
所以 ，x1x2=1．
于是 ．
点D到直线mx+2y﹣m=0的距离 ，
所以 ．
因为m∈R且m≠0，于是S＞4，
所以△DAB的面积S范围是（4，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）及 ， ，得（1﹣x1 ， ﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1 ， m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），
于是 ， （x2≠±1）．
所以 ．
所以λ+μ为定值0
【解析】（Ⅰ）由题知点P，F的坐标分别为（﹣1，m），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1 ， y1），（x2 ， y2），用弦长公式求出线段AB的长，再由点到直线的距离公式求点D到直线AB的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m的表达式，再根据m的取值范围求出面积的范围．（Ⅲ） ， ，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A，B的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．
【考点精析】本题主要考查了一般式方程的相关知识点，需要掌握直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）才能正确解答此题．