Question

【题目】已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x，

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）当x∈时，求f（x）的最大值和最小值

Answer 1

【答案】(1) 单调递减区间[π+Kπ，7π/8+Kπ] k∈Z ;(2) f(x)的最大值是，f(x)的最小值是-1..

【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据x∈，确定正弦函数自变量取值范围，再根据正弦函数性质求最值

试题解析：由题设得：f(x)=(sinx+cosx)-2cosx

=1+2sinxcosx-2cosx

=1+sin2x-(1+cos2x)

=sin2x-cos2x=sin(2x-)

(1)最小正周期T=π，

+2Kπ≤2x-≤+2Kπ k∈Z

π+2Kπ≤2x≤π+2Kπ

π+Kπ≤x≤7π/8+Kπ

单调递减区间[π+Kπ，7π/8+Kπ] k∈Z，

(2)0≤x≤,0≤2x≤π,- ≤2x -≤π- =π

当2x - = 即x＝π时，f(x)有最大值

此时f(x)在[0，π]是增函数，在 [π，]是减函数

所以f(x)的最大值是，f(x)的最小值是-1.