Question

9．四面体ABCD中，AB=CD=5，BC=AD=$\sqrt{41}$，BD=AC=$\sqrt{34}$，求这个四面体的体积．

Answer 1

分析 将四面体补成长方体，则四面体的体积对于长方体的体积减去4个小棱锥的体积．

解答 解：作长方体AECF-GBHD，使得面对角线长分别为5，$\sqrt{41}$，$\sqrt{34}$，如图，
设长方体棱长分别是x，y，z，则$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\\{{x}^{2}+{z}^{2}=41}\\{{y}^{2}+{z}^{2}=34}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\\{z=5}\end{array}\right.$，
∴V_棱锥A-BCD=V_长方体-V_棱锥B-ACE-V_棱锥C-BDH-V_棱锥D-ACF-V_棱锥A-BDG
=xyz-$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}$xyz×4=$\frac{1}{3}$xyz=20．

点评 本题考查了割补法求几何体体积，构造长方体是解题关键．