Question

10．设x³+ax+b=0，其中a，b均为实数，给出下列条件中，①a=-3，b=-3；②a=-3，b=2；③a=0，b=2．其中能使得该三次方程仅有一个实根的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 令f（x）=x³+ax+b，将①a=-3，b=-3；②a=-3，b=2；③a=0，b=2分别代入，求导确定函数的单调性及极值，从而确定函数的零点的个数，从而求方程的根的个数．

解答 解：令f（x）=x³+ax+b，
①当a=-3，b=-3时，
f（x）=x³-3x-3，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
且f（-1）=-1+3-3=-1＜0，f（1）=1-3-3=-5＜0，
故f（x）有且只有一个零点，
故该三次方程仅有一个实根；
②当a=-3，b=2时，
f（x）=x³-3x+2，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
且f（-1）=-1+3+2=4＞0，f（1）=1-3+2=0，
故f（x）有且只有两个零点，
故该三次方程仅有两个实根；
③当a=0，b=2时，
f（x）=x³+2，
f′（x）=3x²≥0，
故f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
f（x）有且只有一个零点，
故该三次方程仅有一个实根；
故选：B．

点评 本题考查了利用导数确定函数的单调性及方程的根与函数的零点的关系应用，同时考查了分类讨论的思想应用．