Question

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．

Answer 1

分析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理．用

OB

，

BC

，

BD

表示出

OA

，进而用

OB

，

OC

，

OD

表示

OA

，
三者的系数之和为1即可．

解答：解：（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
?对空间任一点O，存在实数x₁、y₁，使得

OA

=

OB

+x₁

BC

+y₁

BD

=

OB

+x₁（

OC

-

OB

）+y₁（

OD

-

OB

）
=（1-x₁-y₁）

OB

+x₁

OC

+y₁

OD

，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
则有

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．
所以x=1-y-z得

OA

=（1-y-z）

OB

+y

OC

+z

OD

．

OA

=

OB

+y

BC

+z

BD

，即：

BA

=y

BC

+z

BD

，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．

点评：本题考查共线向量与共面向量定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．