Question

已知函数f(x)=acos2x-bsinxcosx-

a

2

的最大值为

1

2

，且f(

π

3

)=

3

4

，则f(-

π

3

)=（　　）

• A．

  1

  2

• B．-

  3

  4

• C．-

  1

  2

  或

  3

  4

• D．0或-

  3

  4

Answer 1

分析：运用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为 

a

2

•cos2x-

1

2

b•sin2x，由最大值为

1

2

，求出a²+b²=1 ①．再由f(

π

3

)=

3

4

可得a+

3

b=-

3

②，由①②求出a、b的值，
进而求得 f(-

π

3

) 的值．

解答：解：∵函数f(x)=acos2x-bsinxcosx-

a

2

=a•

1+cos2x

2

-

1

2

b•sin2x-

a

2

=

a

2

•cos2x-

1

2

b•sin2x．
它的最大值为

1

2

a2+b2

=

1

2

，故有a²+b²=1 ①．
再由f(

π

3

)=

3

4

 可得-

1

4

a-

3

4

b=

3

4

，即 a+

3

b=-

3

 ②．
由①②解得

a=0 b=-1

，或 

a= - 3 2 b= - 1 2

．
f(-

π

3

)=-

1

4

a+

3

4

b=-

3

4

，或 f(-

π

3

)=-

1

4

a+

3

4

b=0．
故选D．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，体现了分类讨论的数学思想，是一个基础题．