Question

（2013•盐城一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若cos（A+

π

6

）=sinA，求A的值；
（2）若cosA=

1

4

，4b=c，求sinB的值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由cos（A+

π

6

）=sinA，求得 tanA=

3

3

，从而得到 A的值．
（2）若cosA=

1

4

，4b=c，由余弦定理可得 a=

15

b，利用同角三角函数的基本关系求得sinA的值，再由正弦定理求得sinB的值．

解答：解：（1）在△ABC中，若cos（A+

π

6

）=sinA，则有 cosAcos

π

6

-sinAsin

π

6

=sinA，
化简可得

3

2

cosA=

3

2

sinA，显然，cosA≠0，故 tanA=

3

3

，所以A=

π

6

．
（2）若cosA=

1

4

，4b=c，由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA，解得 a=

15

b．
由于sinA=

1-cos2A

=

15

4

，再由正弦定理可得

15 b

sinA

= 

b

sinB

，解得sinB=

1

4

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，同角三角函数的基本关系、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．