Question

13．已知A，B，C三点在同一球面上，若球心到平面ABC的距离为1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球的体积为$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

Answer 1

分析 由“∠BAC=60°，AB=1，AC=2，”得到AB即为A、B、C三点所在圆的直径，取AB的中点M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，在Rt△OMB中，OM=1，MB=1，则OB可求，从而得出该球的体积．

解答 解：在三角形ABC中，∠BAC=60°，AB=1，AC=2，∴BC=$\sqrt{3}$，
则三角形ABC是以AC为斜边的直角三角形，
如图所示：
取AC的中点M，则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M，连接OM，则OM即为球心到平面ABC的距离，
在Rt△OMB中，OM=1，MA=1，
∴OA=$\sqrt{2}$，即球球的半径为$\sqrt{2}$．
∴球的体积为：$\frac{4}{3}π×（\sqrt{2}）^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

点评 本题考查球的有关计算问题，点到平面的距离，是基础题．