Question

设命题p：关于x的方程x²+ax+1=0无实根；命题q：函数f（x）=lg（ax²+（a-2）x+

9

8

）的定义域为R，若命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围

（-2，

1

2

]∪[2，8）

．

Answer 1

分析：由方程x²+ax+1=0无实根可得，△=a²-4＜0，解不等式可求P
由f（x）=lg（ax²+（a-2）x+

9

8

）的定义域为R，可得ax²+（a-2）x+

9

8

＞0恒成立，结合二次函数的性质可求q的范围，然后由命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可得p，q一真一假，可求

解答：解：∵方程x²+ax+1=0无实根
∴△=a²-4＜0
∴-2＜a＜2
即p：-2＜a＜2
∵函数f（x）=lg（ax²+（a-2）x+

9

8

）的定义域为R，
∴ax²+（a-2）x+

9

8

＞0恒成立
①a=0时，-2x+

9

8

＞0不恒成立
②

a＞0 △=(a-2)2- 9a 2 ＜0

解可得，

1

2

＜a＜8
即q：

1

2

＜a＜8
∵命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题
∴p，q一真一假
若p真q假，则

-2＜a＜2 a≥8或a≤ 1 2

，即-2＜a≤

1

2

若p假q真，则

a≥2或a≤-2 1 2 ＜a＜8

，即2≤a＜8
综上可得，-2＜a≤

1

2

或2≤a＜8
故答案为：（-2，

1

2

]∪[2，8）

点评：本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是灵活利用基本知识，准确求出相应参数的范围