Question

【题目】《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；

（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为，求的数学期望．

参考数据：若～，则， ， ．

Answer 1

【答案】（1）平均值168，人数10（2） ,

【解析】试题分析：（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和为平均值求平均数,根据直方图中小长方形面积等于对应区间概率求概率,再根据频数等于总数与概率乘积得人数（2）先确定随机变量取法,再分别求对应概率 列表得分布列,最后根据数学期望公式求期望

试题解析：（Ⅰ）由直方图，经过计算该社区50名市民的平均成绩为，高于全市的平均值168（或者：经过计算该社区居民平均成绩为168.72，比较接近全市的平均值168.

由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人数为0.2×50=10，即这50名市民成绩在172个以上（含172 个）的人数为10人．

（Ⅱ）∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）=0.9974，∴，0.0013×100 000=130．

所以，全市前130名的成绩在180个以上(含180个)，这50人中成绩在180 个以上(含180个)的有2人．随机变量ξ可取0，1，2，

于是，，，

∴．