Question

3．用定义证明函数f（x）=x-$\frac{2}{x}$在（1，+∞）上是增函数，并求x∈[1，3]时f（x）值域．

Answer 1

分析 设1＜x₁＜x₂，计算f（x₁）-f（x₂），判断f（x₁）与f（x₂）的大小关系，得出结论，利用单调性求出最值，得到值域．

解答 证明：设1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{2}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{2}{{x}_{2}}$）=x₁-x₂+$\frac{2}{{x}_{2}}$-$\frac{2}{{x}_{1}}$=x₁-x₂+$\frac{{2（x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）=x-$\frac{2}{x}$在（1，+∞）上是增函数．
∴当x∈[1，3]时，f_min（x）=f（1）=-1，f_max（x）=f（3）=$\frac{7}{3}$．
∴x∈[1，3]时f（x）值域是[-1，$\frac{7}{3}$]．

点评 本题考查了函数单调性的判断与证明，利用函数单调性求最值，是基础题．