【题目】已知,是两个单位向量,与,共面的向量满足,则的最大值为( )
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】
由平面向量数量积的性质及其运算得:由-()+=0得:()(-)=0,即()⊥(-),设=,=,=,则=,-=,则点C在以AB为直径的圆O上运动,由图知:当DC⊥AB时,|DC|≥|DC′|,由三角函数求最值问题得:设∠ADC=θ,则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin(),所以当时,|DC|取最大值,得解.
由-()+=0得:()(-)=0,即()⊥(-),
设=,=,=,
则=,-=,
则点C在以AB为直径的圆O上运动,
由图知:当DC⊥AB时,|DC|≥|DC′|,
设∠ADC=θ,
则|DC|=|DO|+|AO|=sinθ+cosθ=sin(),
所以当时,|DC|取最大值,
故选:C.
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【题目】已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于O、A、B三点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为 ,则p=( )
A.1
B.
C.2
D.3
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【题目】某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi(i=1,2,3);
(2)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行n次后,统计记录输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计图(部分)
运行次数n | 输出y的值为1的频数 | 输出y的值为2的频数 | 输出y的值为3的频数 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2100 | 1027 | 376 | 697 |
乙的频数统计图(部分)
运行次数n | 输出y的值为1的频数 | 输出y的值为2的频数 | 输出y的值为3的频数 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2100 | 1051 | 696 | 353 |
当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大;
(3)将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.
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【题目】设常数a∈R,集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )
A.(﹣∞,2)
B.(﹣∞,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
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【题目】设抛物线的顶点在坐标原点,焦点F在轴正半轴上,过点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的长是8,AB的中点到轴的距离是.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)在抛物线上是否存在不与原点重合的点P,使得过点P的直线交抛物线于另一点Q,满足,且直线PQ与抛物线在点P处的切线垂直?并请说明理由.
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【题目】甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是100(5x+1﹣ )元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
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【题目】如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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