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精英家教网已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为x=
5
5
,离心率e=
5

(Ⅰ)求该双曲线的方程;
(Ⅱ)如图,点A的坐标为(-
5
,0)
,B是圆x2+(y-
5
)2=1
上的点,点M在双曲线右支上,|MA|+|MB|的最小值,并求此时M点的坐标.
分析:(Ⅰ)由题意可知双曲线的焦点在x轴上,双曲线的方程,根据准线方程和离心率求得a和c,进而求得b.
(Ⅱ)设点D的坐标为(
5
,0)
,则点A、D为双曲线的焦点,根据双曲线的性质可得,|MA|-|MD|=2a,进而可|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|,又由B是圆x2+(y-
5
)2=1
上的点,推断出|MA|+|MB|≥2+|BD|≥
10
+1
,进而通过直线方程与双曲线方程联立求得M的坐标.
解答:解:(Ⅰ)由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,
故可设双曲线的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

c=
a2+b2

由准线方程为x=
5
5
a2
c
=
5
5
,由e=
5

c
a
=
5
解得a=1,c=
5

从而b=2,∴该双曲线的方程为x2-
y2
4
=1


(Ⅱ)设点D的坐标为(
5
,0)

则点A、D为双曲线的焦点,|MA|-|MD|=2a=2
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|,
∵B是圆x2+(y-
5
)2=1
上的点,
其圆心为C(0,
5
)
,半径为1,
|BD|≥|CD|-1=
10
-1

从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥
10
+1

当M,B在线段CD上时取等号,
此时|MA|+|MB|的最小值为
10
+1

∵直线CD的方程为y=-x+
5

因点M在双曲线右支上,故x>0
由方程组
4x2-y2=4
y=-x+
5

解得x=
-
5
+4
2
3
,y=
4
5
-4
2
3

所以M点的坐标为(
-
5
+4
2
3
4
5
-4
2
3
)
点评:本题主要考查了双曲线的标准方程和双曲线与直线的关系.圆锥曲线问题是高考中必考的知识点,故应加强训练.
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精英家教网已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为y=
4
3
3
,离心率e=
3
2
,M是椭圆上的动点
(Ⅰ)若C,D的坐标分别是(0,-
3
),(0,
3
)
,求|MC|•|MD|的最大值;
(Ⅱ)如题(20)图,点A的坐标为(1,0),B是圆x2+y2=1上的点,N是点M在x轴上的射影,点Q满足条件:
OQ
=
OM
+
ON
QA
BA
=0
、求线段QB的中点P的轨迹方程.

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