Question

设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.

(1)若点P的坐标为，求f(θ)的值；

(2)若点P(x，y)为平面区域Ω：，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）2；（2）0≤θ≤； f(θ)的最大值等于2 ，f(θ)最小值等于1.

【解析】

试题分析：(1)由任意角三角函数的定义可得sinθ，cosθ，代入函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，从而求出f(θ)的值.

  (2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC)，如图所示，其点P在该平面区域内，连结OP，便可得角θ的范围.将f(θ)化一得： f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋).根据角θ的范围，结合正弦函数的图象的性质，便  可得f(θ)的范围．

试题解析：(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得sinθ＝，cosθ＝.

于是f(θ)＝sinθ＋cos θ＝＝2.

 (2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC)如图所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．

由图可得：0≤θ≤.

又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)，且≤θ＋≤，

故当θ＋＝，即θ＝时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2 ；

当θ＋＝，即θ＝0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.

考点：1、任意角三角函数的定义；2、二元不等式组表示的平面区域；3、三角函数的最值.