Question

16、如图为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一个三棱锥B₁-A₁BC₁后得到的几何体．
（1）若点O为底面ABCD的中心，求证：直线D₁O∥平面A₁BC₁；
（2）求证：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

Answer 1

分析：由于题目中的几何体是由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁切去一个三棱锥B₁-A₁BC₁后得到的几何体，所以我们可以将他增补成正方体，然后进行再进行证明：（1）要证明直线D₁O∥平面A₁BC₁关键是要在平面内找到一条可能与直线D₁O平行的直线，但平面A₁BC₁中已知的三条直线均与D₁O不平行，故我们要作辅助线，协助证明；（2）要证明：平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．关键是要在一个面内找出一条直线证明它与另一个平面垂直，由图分析A₁C₁可能垂直平面BD₁D，故可以以此为切入点进行证明．

解答：解：（1）将其补成正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设B₁D₁和A₁C₁交于点O₁，连接O₁B，
依题意可知，D₁O₁∥OB，且D₁O₁=OB，即四边形D₁OBO₁为平行四边形，
则D₁O∥O₁B，因为BO₁?平面BA₁C₁，D₁O?平面BA₁C₁，
所以有直线D₁O∥平面BA₁C₁．

（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
则DD₁⊥A₁C₁，
在正方形A₁B₁C₁D₁中，B₁D₁⊥A₁C₁，
又∵DD₁∩B₁D₁=D₁，∴A₁C₁⊥平面BD₁D，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，则平面A₁BC₁⊥平面BD₁D．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．