Question

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a，b所成角的大小是60°．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，进而可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$，代入夹角公式可得cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞，可得向量的夹角，进而可得结论．

解答 解：由AC⊥b，BD⊥b可得AC⊥CD，BD⊥CD，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$=0，$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DB}$）•$\overrightarrow{CD}$
=$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{CD}$+|$\overrightarrow{CD}$|²+$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{CD}$
=0+|$\overrightarrow{CD}$|²+0=1，
∴cos＜$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CD}|}$=$\frac{1}{2}$，
故向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CD}$的夹角为60°
∴a与b的夹角为60°．
故答案为：60°．

点评 本题考查异面直线所成的角，化为向量的夹角进行计算是解决问题的关键，属中档题．