Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+

3

bc，B=

π

6

，BC边上的中线AM的长为

7

．
（I）求角A、C的大小；
（II）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）首先将b2+c2=a2+

3

bc 进行整理，再根据余弦定理可求出角A的值，然后根据三角形的内角和得到角C的值．
（2）先设出AC的长，根据余弦定理可求出x，再由三角形的面积公式可得答案．

解答：解：（I）因为b2+c2=a2+

3

bc，
所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，A=

π

6

．…（4分）
又因为B=

π

6

，
所以C=π-(A+B)=

2π

3

．…（6分）
（II）由（I）知，A=B=

π

6

，C=

2π

3

，
∴AC=BC．
设AC=x，则MC=

1

2

x，
又AM=

7

．
在△AMC中由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即有x2+(

x

2

)2-2x•

x

2

•(-

1

2

)=(

7

)2，
解得x=2，…（10分）
故S△ABC=

1

2

x2sin

2π

3

=

3

．…（12分）

点评：本题主要考查余弦定理和三角形面积公式的应用．在做这种题型时经常要用三内角之间的相互转化，即用其他两个角表示出另一个的做法．