Question

已知函数f(x)=

1

x

+ax+lnx，g(x)=

a+1

x

+3lnx，(a∈R)．
（I）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（ III）证明：2n+1+

1

2n

≥n(n+1)ln2+3对任意的n∈N^*成立．

Answer 1

分析：（I）a=2，代入f（x），利用导数研究函数的单调性问题；
（II）已知函数F（x）=f（x）-g（x）在区间[1，+∞）上单调递增，将问题转化为F′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，再利用常数分离法进行证明；
（III）要证明2n+1+

1

2n

≥n(n+1)ln2+3，可以令新的函数f（x）=2^x+1+

1

2x

-x（x+1）ln2-ln2+3，对其进行求导，利用导数研究其导数，利用导数研究其最值，从而求解；

解答：解：（I）a=2，可得f(x)=

1

x

+2x+lnx，
可得f′（x）=

-1

x2

+2+

1

x

=

(2x-1)(x+1)

x2

，（x＞0）
若f′（x）＞0，可得x＞

1

2

，f（x）为增函数；
若f′（x）＜0，可得0＜x＜

1

2

，f（x）为减函数；
函数f（x）的单调增区间：（

1

2

，+∞]；
函数f（x）的单调减区间：（0，

1

2

）；
（II）函数F（x）=f（x）-g（x）=

1

x

+ax+lnx-

a+1

x

-3lnx
=

1

x

+ax-2lnx-

a+1

x

F′（x）=

-1

x2

+a-

2

x

+

a+1

x2

=

-1+ax2-2x+a+1

x2

≥0，
在区间[1，+∞）上大于等于0，
等价于-1+ax²-2x+a+1≥0，
可得a≥

2x

x2+1

，求y=

2x

x2+1

的最大值即可，
因为y在[1，+∞）上为减函数，所以y≤

2

1+1

=1，
∴a≥1；
（ III）令f（x）=2^x+1+

1

2x

-x（x+1）ln2-ln2+3，（x≥1）
可得f′（x）=2^x+1ln2-

ln2

2x

-2xln2-ln2
=ln2（2^x+1-

1

2x

-2x-1），
令g（x）=2^x+1-

1

2x

-2x-1，
∴g′（x）=2^x+1ln2+

ln2

2x

-2，x≥1，
可得g′（x）＞g′（1）=4ln2+

ln2

2

-2＞0，
g（x）为增函数，g（x）＞g（1）=4-

1

2

-2-1=

1

2

，
∴f（x）为增函数，
∴f（x）＞f（1）=4+

1

2

-2ln2+3=

15

2

-2ln2＞0，
∴2n+1+

1

2n

≥n(n+1)ln2+3，即证；

点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．