Question

如图所示，已知直线l的斜率为k且过点Q（-3，0），抛物线C：y²=16x，直线与抛物线l有两个不同的交点，F是抛物线的焦点，点A（4，2）为抛物线内一定点，点P为抛物线上一动点．
（1）求|PA|+|PF|的最小值；
（2）求k的取值范围；
（3）若O为坐标原点，问是否存在点M，使过点M的动直线与抛物线交于B，C两点，且以BC为直径的圆恰过坐标原点，若存在，求出动点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线定义知|PF|=|PB|?|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|，当且仅当A，P，C三点共线取等号．由题意知|PA|+|PF|的最小值是8．
（2）k2＜

4

3

?k∈(-

2 3

3

，0)∪(0，

2 3

3

)．
（3）假设存在点M，设过点M的直线方程为y=kx+b，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由以BC为直径的圆恰过坐标原点有

OB

•

OC

=0，x₁x₂+y₁y₂=0，把y=kx+b代入y²=16x得k²x²+2（bk-8）x+b²=0，由韦达定理

x1+x2=- 2(bk-8) k2 x1x2= b2 k2

．又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+bk（x₁+x₂）+b²．由此知动直线方程为y=kx-16k=k（x-16）必过定点（16，0）．

解答：解：如图，设抛物线的准线为l，过P作PB⊥l于B，过A作AC⊥l于C，
（1）由抛物线定义知|PF|=|PB|?|PA|+|PF|=|PA|+|PB|≥|AC|
（折线段大于垂线段），当且仅当A，P，C三点共线取等号．
由题意知|AC|=8，即?|PA|+|PF|的最小值是8（4分）
（2）k2＜

4

3

?k∈(-

2 3

3

，0)∪(0，

2 3

3

)（5分）
（3）假设存在点M，设过点M的直线方程为y=kx+b，
显然k≠0，b≠0，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由以BC为直径的圆恰过坐标
原点有

OB

•

OC

=0?x₁x₂+y₁y₂=0①（9分）
把y=kx+b代入y²=16x得k²x²+2（bk-8）x+b²=0
由韦达定理

x1+x2=- 2(bk-8) k2 x1x2= b2 k2

．②
又y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+bk（x₁+x₂）+b²．③
②代入③得y1y2=

16b

k

．④
②④代入①得

16b

k

+

b2

k2

=0?b=-16k（12分）
?动直线方程为y=kx-16k=k（x-16）必过定点（16，0）
当k_BC不存在时，直线x=16交抛物线于B（16，-16），C（16，16），仍然有

OB

•

OC

=0，
综上：存在点M（16，0）满足条件（15分）

点评：本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．