Question

某种车辆，购车费10万元，每年交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增，问使用多少年平均费用最少？

Answer 1

分析：根据汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增，可得n年汽车的维修费为0.2+0.2+…+0.2n，利用购车费10万元，每年交保险费、养路费及汽油费合计9千元，即可得到n年的平均费用，利用基本不等式即可得到结论．

解答：解：设n年平均费用最少，则
∵汽车的维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增，
∴n年汽车的维修费为0.2+0.2+…+0.2n
∵购车费10万元，每年交保险费、养路费及汽油费合计9千元
∴n年的平均费用y=

1

n

[(0.2+0.2+…+0.2n)+10+0.9n]（4分）
化简：y=

n

10

+

10

n

+1 （2分）
∵

n

10

+

10

n

≥ 2

n 10 × 10 n

=2
∴当n=10时，y_min=3 （1分）
答：使用10年平均费用最少． （1分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查等差数列，考查利用基本不等式求最值，解题的关键是构建函数模型．